即使科学规律能指导我们预测大量”必然事件”，但这仍然是一个概率的世界。——Terrence

本文用于介绍作者在学习概率论期间，总结的一些认为较为重要的概念。

事件与基本事件

概率，用来衡量即理想情况下一个事件生的可能性大小，而一个事件可能由多个样本点（不可再分的事件）组成，因此我们可以说：事件就是样本点的集合，而事件的运算本质上就是集合的运算。

全概率公式及贝叶斯公式

如果一件事情的发生有种途径，那么可以使用全概率公式，分别计算再求和。

如果一件事情发生了，要探究其发生的途径，那么可以使用贝叶斯公式，执果寻因。

随机变量

将样本空间中的样本点映射到数轴上的函数，且函数所有取值和为1。

概率密度

连续随机变量取得任意值的概率都为0，不过可以用概率密度函数体现取得其邻域值的可能性大小。

常见分布

0-1分布与二项分布 $B(n,p)$

将伯努利实验的结果成功计1，失败计0，化为随机变量；一次实验的结果与n次实验的结果即为0-1分布与二项分布。

泊松分布 $P(\lambda)$

用于描述单位内事件发生的次数的概率分布，且发生的时间间隔服从指数分布。

（其表达式可用无穷次伯努利实验得到）

超几何分布 $H(n, N, M)$

M件产品中有N件次品，抽取n件，抽取到次品数量的概率分布。

几何分布

离散型等待分布。

指数分布

连续型等待分布。

均匀分布

几何上的均匀。

正态分布

概率与统计的桥梁。

随机变量函数的分布

根据函数值由一个随机变量还是多个随机变量取值决定，可以分为一维和多维随机变量函数，但其基本思想是一致的，即将所有使得函数值相同的随机变量的函数值相加，本质上为全概率公式。

离散型随机变量

将结果函数的每个取值看作一个事件，分别计算事件发生的概率，最后整合为概率分布即可。

连续型随机变量

常用分布函数法累加后求导，以保证结果函数的归一性。

卷积公式

连续型随机变量的全概率公式。

期望与方差

• 期望即均值
• 方差即二阶矩，描述的是随机变量分布的离散程度

平方的期望永远大于的期望的方差

协方差与相关系数

协方差即“两个随机变量的方差”，相关系数则是协方差除以两个随机变量各自的标准差，其值介于$[0,1]$之间，说明了两个虽随机变量的线性相关程度。当其等于0时，只能说明两个随机变量没有线性相关性质，并不能说明两个随机变量独立。不过当两个随机变量都服从正态分布时，二者等价。