常微分方程 | Terrence

常微分方程一直是我的一个梦魇，大二期末时也是糊里糊涂地背了很多公式就坐在考场上答卷，成绩自然是很不理想。如今，再次面对这个让我第一次对自己数学能力产生怀疑的领域，却无法再逃避。经过两天的学习，自以为初窥门径，现将所感在此记录，以备今后查证。

概述

方程，即未知量的限定条件，解方程，则是指求解满足该限定条件的未知量的取值。

微分方程，即通过函数的微分对函数进行限制的限制条件，解微分方程，则是指求解满足该限定条件的函数。

可见，微分方程只不过是方程的一种，这一点我们可以通过与普通方程类比得到：

设有方程：$x^2 + 6x = 10$ 和 $ y’ = (\dfrac{3}{x-1})y + 5 {x^2-1} $

未知量（研究对象）的不同：普通方程研究的是 $x$ 的取值，微分方程研究的是 $y$ 的结构，

已知量（常量）的不同：对于普通方程6、10都是已知量，而对于微分方程来说 $5x$ 和 $\dfrac{3}{x-1}$则是已知量，因为我们求解的就是关于 $x$ 的函数。例如若有方程 $y = \dfrac{3}{x-1}$ ,则不必再求解，因为这时我们就说y已知了。

若无初始条件，则对微分方程求解得到的则是一个函数族（或者说一种函数结构），其函数表示中存在与函数阶数相同数量的独立常数（考研数学不考虑奇解，即不能通过上述”函数表示“表示的特殊的解），这样的解称为通解；若将自由常数取成特定的值则称为特解。

求解

一阶线性微分方程

在求解该类方程时，主要有两种方法：

分离变量：通过将 $x、dx$ 和 $y、dy$ 分别放到等号两侧，对两侧同时积分即可
公式求解：形如 $y’ + p(x)y = q(x)$ 的通解为：
$y=e^{-\int p(x)dx}.(\int e^{\int p(x)dx}.q(x)dx+C)$

技巧：将$y’$前系数化为$0$后，先算$e^{\int p(x)dx}$，令其为$H$

$y=\dfrac{1}{H}.(\int H \cdot q(x)dx+C)$

在使用这个两种方法时，可根据优先考虑分离变量，若无法分离，则可以使用公式直接求解。并且在解题时，可根据题目形式，考虑交换 $x$ 和 $y$ 的位置，有时会极大的简化求解。

注⚠：

此处所指的“一阶微分方程”，不仅包含从形式上看为一阶和线性，还包括：

可降阶的高阶线性微分方程（$阶数\geq2$），其具体表现为方程中缺少 $y$ 或 $x$
可化为线性的一阶伯努利方程（存在 $y^n$）

不过这两种方程都可以通过替换变化为关于变量 $u$ 的一阶微分方程，通过上述两种方法求解 $u$ 后，再逆替换后就可以解出 $y$ 了！具体替换方法也不必死记硬背，理解原理后自然熟能生巧。

高阶常系数线性微分方程

当涉及高阶方程时，未知量（研究对象）前的系数均为常数，所以也称为高阶常系数线性微分方程，在求解该类方程时，首先需要明确一个原理：

非齐次微分方程的通解 = 该方程所对应齐次微分方程的通解 + 该方程的一个特解

据此，求解任意一个高阶常系数线性微分方程通解的标准步骤为：

求解该方程所对应齐次微分方程的通解
求解该方程的一个特解 (若方程就是齐次微分方程可省略此步)

最后将所得结果相加即可，下面依次说明这两步的具体方法：

求解齐次微分方程的通解

该部分只需要明确一个原则：

解中各项和特征根一一对应！！！

解中各项和特征根一一对应！！！

解中各项和特征根一一对应！！！

（重要的事情说三遍）

特征根是指微分方程所对应特征方程的根：

如：

$ y’’ + 2y’ - 8y = 0 $ 所对应的特征方程为 $x^2 + 2x - 8 = 0 $

所对应的特征根即为 $x_1=-4,x_2= 2$

刚才提到，解中各项和特征根一一对应，其具体对应关系取决于根的类型（实根/复根）和根的重数(单根/k重根)，求解特征方程的各个特征根后，再根据对应法则依次写出其对应的“特征解”（我乱造的词）后再相加即可，对应法则如下：

$x=a$ 为k重实根 ==> $P_{k-1}(x)e^{ax}$ 即 $(c_1 + c_2x + c_3x^2 + \dots + c_kx^{k-1})e^{ax}$

$x=a\pm bi $ 为k重实根 ==> $(P_{k-1}(x)sinbx+Q_{k-1}(x)cosbx)e^{ax}$

特殊地，若某个不为重根(或者说1重根)，则 $P_{k-1}(x)e^{ax} = P_{0}(x)e^{ax} = Ce^{ax}$ 如：

上述$ y’’ + 2y’ - 8y = 0 $ 的两个特征根分别对应：

$x_1=-4$ 对应 $Ce^{-4x}$

$x_2= 2$ 对应 $Ce^{2x}$

可得该方齐次微分方程的通解为 $C_1e^{-4x} + C_2e^{2x}$

求解非齐次微分方程的特解

该部分计算量较大，不过求解套路也较为固定，只需要：

设出特解形式（含待定系数）
带回原方程求解系数

其中具体特解形式与自由项有关，且形式上高度统一：

规则1：若自由项形式为 $P_n(x)e^{ax}$ ，则特解设为 $P_n(x)e^{a x}x^k$

规则2：若自由项形式为 $(P_n(x)sinbx + P_m(x)cosbx)e^{ax}$ ，

则特解设为 $(P_l(x)sinbx + P_l(x)cosbx)e^{ax}x^k$ (其中$l=max{m, n}$)

即，在自由项的结构上多加一个$x^k$，其中唯一需要注意的就是 $k$ 的取值，在上述规则中 $a、b$ 并非为变量，当一个方程给出后，其自由项就已经是确定的了，我们只需要比较“规则1”中的 $a$ 或“规则2”中的 $a\pm bi$ 是上一段所说的特征方程的几重根，$k$ 就取几！

设出解的形式后，其中的 $P_n(x)$ 仍然待定系数，带回原方程求解系数，即可得到该非齐次微分方程的特解，如上文所说，与该方程所对应齐次微分方程的通解相加后即可得到该非齐次微分方程的通解。

还记得上文强调的“解中各项和特征根一一对应”么？

重新回忆一下，我们已经知道了在求解齐次微分方程的通解时，需要用到此原则写出与各个特征根所对应的“特征解”，再相加得到通解。不过，同样重要的是，还有一种题型，是给出微分方程的通解/特解，反求微分方程，处理这种题时，需要我们敏锐的找出通解/特解中哪些是“特征解”，对应什么特征根，从而对应什么齐次方程，哪些是特解，对应什么自由项。

综上所述，常微分方程似乎是基于高等数学又独立于其的一个十分重要的板块，不过，相信通过这篇“所感”，作者和读者都能有所收获，最后借用张宇老师的一句话，共同学们参考。

反反复复才能扎扎实实，念念不忘才必有回响!

概述

分类

求解

一阶线性微分方程

高阶常系数线性微分方程

求解齐次微分方程的通解

求解非齐次微分方程的特解